Mục lục:
- Người Hy Lạp
- Sô cô la đen
- Đồng bằng
- Gamma
- Ba cách để tính toán sự thay đổi giá trị của một vị trí
- 1. Tính toán lợi nhuận bằng dòng tiền
- 2. Tính toán lợi nhuận bằng cách sử dụng Delta
- 3. Tính toán lợi nhuận bằng Gamma
Người Hy Lạp
Người Hy Lạp — delta, gamma, theta, vega và rho — là năm biến số giúp xác định rủi ro của một vị trí quyền chọn.
Rủi ro mà nhà đầu tư phải đối mặt trong quyền chọn không phải là một chiều. Để đối phó với các điều kiện thị trường thay đổi, nhà đầu tư nên nhận thức được mức độ của những thay đổi này. Để xem các thay đổi lớn hay nhỏ, liệu chúng tạo ra rủi ro lớn hay nhỏ, lý thuyết quyền chọn và các mô hình định giá quyền chọn cung cấp cho nhà đầu tư các biến xác định các đặc điểm rủi ro của vị thế quyền chọn của họ. Các biến này được gọi là Hy Lạp. Có năm người Hy Lạp mà chúng tôi theo dõi: delta, gamma, theta, vega và rho.
Vì người Hy Lạp là phái sinh của công thức Black & Scholes, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách giải thích thêm một số điều về điều đó.
Sô cô la đen
Công thức Black và Scholes, đôi khi được gọi là công thức Black, Scholes và Merton, là công cụ tiêu chuẩn thị trường để định giá các tùy chọn. Công thức này định giá quyền chọn là một hàm của giá cổ phiếu hiện tại S 0, thời gian đáo hạn của quyền chọn T, mức tiền gửi X, độ biến động σ và lãi suất r:
gọi = S 0 N (d 1) - Xe -rT N (d 2)
đặt = Xe -rT N (-d 2) - S 0 N (-d 1) với
trong đó N (x) là hàm phân phối chuẩn tích lũy cho phân phối chuẩn chuẩn, tức là xác suất để một biến ngẫu nhiên ~ N (0,1) (với phân phối chuẩn chuẩn) nhỏ hơn x.
Trước khi thảo luận về công thức, chúng ta hãy nêu các giả định cơ bản. Công thức Black và Scholes giả định:
- Lợi nhuận là IID (phân phối độc lập và giống hệt nhau) với phân phối chuẩn.
- Sự biến động trong tương lai được biết trước và không đổi.
- Lãi suất tương lai được biết trước, không đổi, và cho vay và cho vay như nhau.
- Đường đi của cổ phiếu là liên tục và có thể giao dịch liên tục.
- Chi phí giao dịch là vô giá trị.
Để phát triển lý thuyết, chúng tôi giả định rằng tất cả các giả định này đều đúng. Công thức này là tiêu chuẩn thị trường vì nó cực kỳ chắc chắn đối với các trường hợp vi phạm các giả định của nó.
Đồng bằng
Tiếng Hy Lạp đầu tiên sẽ được thảo luận là vùng đồng bằng. Về cơ bản, delta là độ nhạy cảm của giá trị lý thuyết của một quyền chọn đối với sự thay đổi giá của hợp đồng cơ bản. Nói một cách đơn giản hơn, delta là sự thay đổi giá trị của một quyền chọn khi giá trị cơ bản tăng lên 1 đô la. Ví dụ:
Δ gọi = ∂c / ∂S = N (d 1) và Δ đặt = ∂p / ∂S = N (d 1) - 1,
với N (d 1) như trong công thức BS.
Giá trị của một quyền chọn mua tăng lên khi giá cổ phiếu tăng, do đó, delta của một quyền chọn mua là dương. Ngược lại, giá trị của quyền chọn bán giảm khi giá cổ phiếu tăng, do đó, delta của quyền chọn bán là số âm.
Người ta có thể lưu ý rằng N (x) là một hàm mật độ xác suất, vì vậy nó nhận giá trị. Delta của một lệnh gọi sau đó luôn ở trong và delta của một lệnh được đưa vào. Bởi vì mức cơ bản thường là 100 cổ phiếu, delta của quyền chọn được nhân với 100. Ví dụ: một quyền chọn có delta là 0,25 được coi là delta 25. Mức delta càng cao thì sự thay đổi giá trị của quyền chọn càng giống nhau là cổ phiếu cơ bản. Giá trị của một quyền chọn có delta 100 sẽ di chuyển chính xác với cùng tốc độ với cổ phiếu cơ sở. Cũng lưu ý rằng phép toán đạo hàm là tuyến tính nên chúng ta có thể tính toán delta của mỗi tùy chọn và tính tổng chúng để có được delta của toàn bộ danh mục đầu tư (dĩ nhiên là nó có thể nằm ngoài).
Khi một quyền chọn gần hết hạn, delta của nó sẽ thay đổi, vì xác suất tiền trong hoặc ngoài tiền hết hạn thay đổi và phân phối chuẩn thu hẹp và xoay quanh giá trị trung bình. Khi một quyền chọn gần hết hạn, các quyền chọn đổi tiền sẽ di chuyển về phía delta 100 và các quyền chọn ngoài tiền sẽ di chuyển về phía delta 0. Mặt khác, các tùy chọn bằng tiền sẽ ở quanh vùng delta 50.
Khi cổ phiếu cơ bản thay đổi về giá, delta cũng thay đổi theo. Điều này được mong đợi vì d 1 là một hàm của giá cổ phiếu.
Delta of a Call
Một cách giải thích thực tế của delta là tỷ lệ bảo hiểm rủi ro: số lượng cổ phiếu nên được mua hoặc bán để trung hòa rủi ro định hướng của một quyền chọn. Từ công thức BS, chúng ta có thể thấy một cách giải thích khác. Nói một cách đại khái, chúng ta có thể nói rằng delta của một quyền chọn là xác suất của nó hết hạn bằng tiền. (Đối với một lượt đặt, chúng tôi sẽ lấy giá trị tuyệt đối). Tuy nhiên, ước tính này chỉ hoạt động đối với các lựa chọn Châu Âu.
Tóm lại, có ba cách hiểu về delta:
- Sự thay đổi giá trị của một quyền chọn nếu giá cơ bản tăng lên 1 đô la.
- Tỷ lệ phòng hộ: số lượng cổ phiếu được mua hoặc bán để trung hòa rủi ro định hướng của vị thế.
- Cơ hội mà tùy chọn sẽ thành tiền khi hết hạn
→ Lệnh gọi OTM: delta có xu hướng về 0 khi chúng ta sắp hết hạn.
→ ITM gọi: delta có xu hướng 100 khi thời gian trôi qua.
Delta của một thỏa thuận so với Giá cơ bản
Delta so với Biến động
Khi độ biến động tăng (giảm), delta của một cuộc gọi đi về phía (ra khỏi) 0,50 và delta của một trái về phía (ra khỏi) -0,50. Vì vậy, nếu sự biến động tăng (giảm) thì delta của một quyền chọn mua tiền giảm (tăng). Trong trường hợp lựa chọn ngoài tiền, điều này hoàn toàn ngược lại.
Delta so với thời gian
Khi thời gian giảm dần, delta của một cuộc gọi di chuyển ra khỏi 0,50 và delta của một put ra khỏi -0,50. Khi thời gian trôi qua, delta của lệnh gọi tiền chuyển về 1 và delta của lệnh gọi ra tiền về 0.
Gamma
Gamma là đạo hàm của delta như một hàm của giá cổ phiếu. Vì delta là phái sinh của giá trị quyền chọn như một hàm của cổ phiếu cơ sở, gamma là sự thay đổi của delta khi giá cổ phiếu tăng 1 đô la. Nó được viết như sau:
Γ = δ 2 c / δS 2 = N '(d 1) / S 0 σ √T
với d 1 như trong công thức BS và N 'là đạo hàm bậc nhất của hàm mật độ tích lũy Gauss, đó là mật độ Gaussian thông thường:
Gamma so với Giá cổ phiếu, Gamma so với Thời gian
Người ta thường nói rằng gamma đạt giá trị tối đa khi một tùy chọn là ATM. Điều này đúng như một ước lượng gần đúng đầu tiên, tuy nhiên, mức tối đa thực sự đạt được khi giá cổ phiếu nằm ngay dưới giá thực tế. Hiệu ứng này được thể hiện ở phần bên trái của hình trên đối với giao dịch cổ phiếu ở mức 100 đô la. Với một cuộc tấn công X, biến động σ, một r lãi suất, và một thời gian hết hạn T, giá trị cổ phiếu cho gamma tối đa là S max Γ = Xe - (r + 3σ ^ 2/2) T.
Đường cong gamma của một lệnh gọi và một lệnh đặt là giống hệt nhau. Điều này phù hợp với những gì chúng tôi đã nói về cuộc gọi và đặt nói chung cũng như gamma nói riêng cho đến nay.
Khi thời gian hết hạn giảm, gamma và theta của các tùy chọn bằng tiền tăng lên. Ngay trước khi hết hạn, các biến này có thể trở nên lớn đáng kể.
Gamma so với thời gian
Như hình trên cho thấy, biểu đồ thu hẹp nhưng tổng bề mặt bên dưới biểu đồ vẫn không thay đổi. Do đó, biểu đồ có đỉnh cao hơn nhiều. Đỉnh cao hơn tượng trưng cho sự gia tăng gamma và theta khi thời gian hết hạn giảm.
Do hành vi của các cuộc gọi ITM, ATM và OTM, chúng tôi thấy rằng đường cong delta sẽ dốc dần xung quanh cảnh cáo khi sắp hết hạn. Do đó, gamma sẽ tăng đối với tùy chọn ATM khi thời gian trôi qua. Tuy nhiên, điều này không đúng với các tùy chọn OTM và ITM.
Gamma là một tham số rủi ro quan trọng vì nó xác định số tiền chúng ta có thể thu được hoặc mất đi trên danh mục đầu tư trung lập của mình khi giá cổ phiếu thay đổi. Trong ví dụ sau, chúng tôi sẽ đánh giá P / L của một vị thế quyền chọn là hệ quả của sự chuyển động của giá cơ sở. Chúng tôi sẽ giả định một gamma không đổi là 2,7, do đó, đồng bằng thay đổi 2,7 cho mỗi chuyển động đô la của đồng bằng.
Giả sử chúng ta mua lệnh gọi 80 1000 lần với giá 5,52 với giá cổ phiếu là 79 đô la. Để trung lập với delta, chúng ta nên bán 51.100 cổ phiếu. Giá cổ phiếu diễn biến như sau:
t = | Giá cổ phiếu |
---|---|
0 |
79 |
1 |
84 |
2 |
76 |
3 |
79 |
Tại t = 1 và t = 2, tôi điều chỉnh lại hàng rào của mình để trung lập delta. Tại t = 3, tôi đóng vị trí của tôi.
Ba cách để tính toán sự thay đổi giá trị của một vị trí
Dưới đây là ba cách để tính toán sự thay đổi giá trị của vị thế của chúng tôi, cách thứ nhất sử dụng dòng tiền, cách thứ hai sử dụng delta và cách thứ ba sử dụng gamma.
1. Tính toán lợi nhuận bằng dòng tiền
Đầu tiên chúng ta xem xét các dòng tiền, như thể hiện trong bảng dưới đây. Cột thứ hai hiển thị dòng tiền liên quan đến cuộc gọi và cột thứ ba liên quan đến vị thế cổ phiếu của tôi. Dòng cuối cùng tổng hợp tất cả:
Vì vậy, cuối cùng chúng tôi tạo ra lợi nhuận là 132.300. Nếu chúng ta là quyền chọn mua dài và do đó có một vị trí gamma dài, chúng ta cần mua cổ phiếu nếu giá cổ phiếu giảm và bán cổ phiếu nếu giá cổ phiếu tăng (mua thấp, bán cao), vì vậy chúng ta luôn kiếm được lợi nhuận nếu cổ phiếu di chuyển. Hãy tự kiểm tra xem điều này có hợp lệ cho cả lệnh gọi và lệnh đặt hay không.
2. Tính toán lợi nhuận bằng cách sử dụng Delta
Bây giờ chúng ta xem xét cách thứ hai để tính toán lợi nhuận. Các giao dịch đều giống nhau, chỉ khác là cách tính lợi nhuận. Với phương pháp đó, chúng tôi xem xét đồng thời quyền chọn mua và vị thế cổ phiếu. Chúng ta có cổ phiếu như một hàng rào cho quyền chọn, vì vậy hãy chỉ xem xét tổng vị thế delta. Chúng tôi bắt đầu trung lập delta. Sau đó, cổ phiếu di chuyển, chúng ta có được delta. (Chúng tôi tính toán các delta có được bằng cách sử dụng chênh lệch giữa hai delta nhất định cho các giá trị cổ phiếu bắt đầu và kết thúc đã cho. Để có được delta trung bình trong quá trình di chuyển, chúng tôi lấy giá trị này chia cho hai). Danh mục đầu tư tăng giá trị theo các nhiệm vụ của nó như được giải thích bên dưới.
Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng phương pháp delta trung bình. Đó là, chúng tôi:
- Tính toán vị trí delta trung bình trong quá trình di chuyển cổ phiếu.
- Nhân khoảng thời gian này với khoảng thời gian để tính lợi nhuận.
Tại thời điểm t, chúng tôi tự bảo hiểm để mua / bán cổ phiếu để delta trung lập trở lại.
Hãy xem xét điều này một cách cẩn thận hơn:
- Tại t = 0, cổ phiếu giao dịch 79, chúng tôi bắt đầu một vị trí trung lập đồng bằng, tức là chúng tôi có 51.100 cổ phiếu đang thiếu
- Tại t = 1, cổ phiếu giao dịch 84. Delta của vị thế quyền chọn là 64,6 * 1000 (từ quyền chọn) -51100 (từ cổ phiếu). Trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 1, vị trí delta của tôi đi từ 0 đến 13.500. Delta trung bình của tôi cho việc di chuyển khi đó là (13.500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 mỗi cuộc gọi). Để tính PnL của vị trí của tôi, tôi nhân các đồng bằng này với số lượng cổ phiếu di chuyển: 6570 * 5 = 33.750 đô la. Để nhận được lợi nhuận này, tôi cần bán cổ phiếu để đồng bằng trở lại trung lập.
- Tại t = 2, cổ phiếu giao dịch 76. Delta của vị trí quyền chọn của tôi là 43,0 * 1000 và delta của vị trí cổ phiếu của tôi là -64600…
Ví dụ về tính toán lợi nhuận bằng Gamma.
3. Tính toán lợi nhuận bằng Gamma
Trong ví dụ trên, chúng tôi tính toán vị trí delta trung bình bằng cách lấy giá trị trung bình của vị trí delta bắt đầu và vị trí delta cuối cùng. Điều này cũng có thể đạt được bằng cách sử dụng gamma, vì gamma xác định sự thay đổi của delta trên mỗi đô la.
Hãy làm rõ cách:
- Tại t = 0, cổ phiếu giao dịch 79, trung tính delta, gamma là 2.700.
- Tại t = 1, cổ phiếu giao dịch 84. Cổ phiếu tăng 5, do đó, vị trí delta mới của tôi là 5 * 2.700. Khi bắt đầu di chuyển, delta của tôi là 0, vì vậy delta trung bình của tôi là 5 * 2.700 / 2. Cổ phiếu tăng 5 nên danh mục đầu tư tăng 5 * delta trung bình = 5 * 5 * 2,700 / 2. Danh mục đầu tư được bảo vệ để delta bằng 0 một lần nữa. Chúng tôi gọi đây là "tỷ lệ gamma". Vị trí gamma dài cho phép bạn mua thấp và bán cao.
- Tại t = 2, cổ phiếu giao dịch 76. Đây là mức di chuyển 8 đô la, vị trí đồng bằng mới của tôi là 8 * 2700…
Người ta có thể sử dụng công thức chung sau nếu chúng ta bắt đầu từ danh mục đầu tư trung lập đồng bằng:
P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2